【確率統計】ベイズの定理

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条件付き確率

Xが起こった下でYが成り立つ確率P(Y|X)は

意味として解釈すると、原因Xによって結果Yが起きる確率。

ベイズの定理

上の式を利用して変形していく。
①の式のXとYを入れ替えると

また①の式より

③を②に代入すると

④の式は、ただ式変形で導き出されただけの式
しかし、これを意味として解釈すると、結果が生じている際の、原因の確率を探る、ということになる。因果関係を、結果→原因の順で追う。
観察結果から見て、前提条件がこうであった、と推測するような式になる。
こういうのを尤度だとか言うらしい。尤もらしさ（もっともらしさ）。

罹患率・陽性・陰性・偽陽性・偽陰性

病気の診断のときにこの定理が発揮される。
ざっくり書くと、罹患率0.01%の病気の診断で、陽性だと診断された場合、実際に陽性である確率はかなり低い。
これは、診断結果から病気（原因）の確率を求めることになる。
＊罹患率…その病気にかかっている確率。人口1億人の国で1万人がかかっている病気の罹患率は、1万割る1億。

事前確率、情報、事後確率

罹患率0.01%の病気の診断で陽性だと診断された場合、その病気にかかっている確率は0.05%になったとする。
このとき、罹患率は事前確率、診断は情報、0.05%は事後確率、のように呼ばれる。

確率の更新プロセス

事前確率→（情報を与える）→事後確率、のように、ベイズの定理は確率更新に用いられる。
こういう手法を逐次ベイズ推定と呼ばれたりする。